რაციონალურ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება და შედეგის შეფასება

აქტივობების აღწერა

I. 3/4+2/3 სახის ჯამის შემცველი რიცხვითი გამოსახულებების მნიშვნელობების შესაფასებლად მოსწავლეებმა შეიძლება გამოიყენონ შემდეგი ხერხი: თითოეული შესაკრები შევადაროთ ჯერ ნახევარს, შემდეგ - ერთ მთელს და შემდეგ შეკრების გარეშე შეგვიძლია დავადგინოთ, რომ

1 <  3/4 + 2/3  < 2

ამ  სახის სავარჯიშოების  შემდეგ,  მასწავლებელმა უნდა დაავალოს მოსწავლეებს, შეკრიბონ წილადები და შეამოწმონ შეფასების შედეგი.

II. მასწავლებელმა წილადებზე შეკრება-გამოკლების მოქმედებების შესრულების სწავლებისას ყურადღება უნდა გაამახვილოს შემდეგი ტიპის მაგალითებზე:

2- ⅝ , 6-1¾ , 3½ -1⅝ .

ამ ტიპის მაგალითების ამოხსნამდე მასწავლებელმა უნდა შესთავაზოს მოსწავლეს მარტივი სიტუაციური ამოცანები; მაგ.,

ნინომ  თევზებისათვის 2 პაკეტი საკვები შეიძინა. გამყიდველმა  გააფრთხილა, რომ ზედმეტი საკვების მიცემა თევზებისათვის მავნეა. ერთ ჩაყრაზე მან თევზებს პაკეტის 3/4 უნდა მისცეს. როგორ მოიქცევა ნინო? გახსნის თუ არა იგი პირველ დღეს ორივე პაკეტს? რატომ?

მასწავლებელმა უნდა გაითვალისწინოს, რომ მოსწავლეებმა შეიძლება ორი სხვადასხვა გზით შეასრულონ მთელისათვის წილადის გამოკლება

ა) 2-⅝ = 1+8/8-⅝ = 1+⅜ = 1⅜, 3⅜ -1⅝ = (3+⅜)-(1+⅝) = (2+11/8) - (1+⅝) = (2-1) + ( 11/8 -⅝) = 1+6/8 ბ) 2-⅝ = 16/8-⅝  = 11/8 = 1⅜,  3⅜ -1⅝ = (27/8-13/8) = 14/8

მასწავლებელი უნდა ეცადოს, აჩვენოს მოსწავლეებს პირველი ხერხის უპირატესობა. ამისათვის მან შეიძლება შესთავაზოს 239 - 37/45 ან 39⅜ - 37⅝.

არსებობს ასეთი გზაც:

გ) 3⅜ -1⅝ = 2+8/8+⅜  -1-⅝ = ( 2-1)+(8/8-⅝) +⅜

III. წილადებზე გაყოფის მოქმედების გასააზრებლად ძალზე ეფექტურია მოდელის გამოყენება. მაგალითად:

1/2 გავყოთ 3-ზე

 წილადების გაყოფა

 

1/2 : 3 = 1/6

3/4  გავყოთ 1/8-ზე

 წილადებზე გაყოფა 1

 

რამდენი 1/8 მოთავსდება 3/4-ში?

3/4 : 1/8 = 6

მოსწავლეებს უჭირთ იმის  გააზრება, რომ როცა გასაყოფი და გამყოფი ერთზე ნაკლებია, როგორ შეიძლება, რომ განაყოფი ერთზე მეტი იყოს. მასწავლებელმა ჯერ თვალსაჩინოებაზე უნდა აჩვენოს მოსწავლეს წილადებზე მოქმედებები და მხოლოდ შემდეგ აუხსნას მათზე არითმეტიკული მოქმედებების წესები.

 

 

რესურსები:

ინტერაქტიული გაკვეთილები მათემატიკაში, წილადების შეკრების მართკუთხოვანი მოდელის დემონსტრირება:

http://enlvm.usu.edu/ma/nav/activity.jsp?sid=   shared&cid=lhs@MChase1&lid=6

 

  

რეკომენდაციები მასწავლებლებს

სხვადასხვა მოდელის გამოყენება წილადებზე მოქმედებების გასააზრებლად გამრავლების მართკუთხოვანი მოდელი

გამრავლება, როგორც მრავალჯერადი შეკრება არის ნატურალური რიცხვების გამრავლების პირველი მოდელი, რომელსაც ბავშვი  სწავლობს. მაგალითად, 7 ხ 6 ნამრავლის წარმოდგენის ნიმუშია “ბურთების მთლიანი რაოდენობა 7 ყუთში, როდესაც თითოეულ მათგანში  აწყვია  6 ბურთი”; ე.ი.  გვაქვს 7 ხ 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42 ბურთი.

ამ  მოდელის გავრცობა ადვილადაა შესაძლებელი ნატურალური რიცხვისა და წილადის გამრავლების შემთხვევაში. მაგალითად, 7 ხ 3/4 ნამრავლი შეგვიძლია განვიხილოთ, როგორც იმ ვითარების წარმოდგენა, როდესაც “7 ბავშვი  ჭამს ნამცხვარს. თითოეული -  3/4 ნაჭერს”. მთლიანობაში ბავშვები შეჭამენ 7ხ ¾ = 3/4+3/4+3/4+3/4+3/4+3/4+3/4 = 21/4 = 5 ¼  ნამცხვარს.

ერთ-ერთი თვალსაჩინოება, რომელიც გამოიყენება როგორც გამრავლების მოდელი, არის მართკუთხოვანი  კონფიგურაციით განლაგებული საგნების  ან  ფიგურების გამოსახულება. მაგალითად 7ხ4 შეიძლება წარმოვადგინოთ ასე:

 წერტილოვანი კონფიგურაცია

 

 ან ასე:

 კვადრატული კონფიგურაცია

 

ეს მოდელი ძალზე მოხერხებულია ბევრ სხვადასხვა შემთხვევაში; კერძოდ, მისი საშუალებით მოსწავლისათვის ადვილი გასააზრებელია გამრავლების კომუტაციურობა (გადანაცვლებადობა) 7ხ4 = 4ხ7. მაშინ, როდესაც მოსწავლისათვის გამრავლების გადანაცვლებადობის თვისების მიწოდება საკმაოდ რთულია გამრავლების, როგორც მრავალჯერადი შეკრების განხილვით.

როდესაც საქმე გვაქვს ნატურალური რიცხვების გამრავლებასთან, ერთი ერთეული (ერთი საგანი)  არის ერთი გამუქებული წრე,  ან ერთი მცირე მართკუთხედი.

 შავი წერტილი       მართკუთედი

 წილადების გამრავლების წარმოდგენისას კი საჭიროა, დიდი ფიგურა მთლიანად განვიხილოთ როგორც ერთი ერთეული.

 წილადების განრავლება

    

კერძოდ, ამ ნახაზზე დიდი კვადრატი არის 1 ერთეული და მოდელი გვიჩვენებს ტოლობას 4/5 ხ 2/3 =8/15. გამუქებული არე არის ნამრავლი, რომელიც შედგება 8 მცირე მართკუთხედისაგან. მოსწავლე ადვილად ამჩნევს, რომ თითოეული მცირე მართკუთხედი არის ერთეულის (დიდი კვადრატის) 1/15 ნაწილი, ხოლო მათი რაოდენობა 8-ის ტოლია. ამიტომ ნამრავლი ტოლია 8/15–ის.

მართკუთხოვანი მოდელის გამოყენება  შეიძლება იმ შემთხვევაშიც, როდესაც ერთი ან ორივე წილადის თანამამრავლი 1-ზე მეტია. მხოლოდ აუცილებელია გვახსოვდეს, რომ 1 ერთეული არის 1X1 ზომის მქონე კვადრატი.

 წილადების თანამამრავლი

ნახაზზე გამოსახულია ნამრავლი 2 2/3X3 1/3. ერთეულის შესაბამისი თითოეული კვადრატი დახაზულია სქელი ხაზებით. ამ მოდელის მიხედვით გამრავლების შედეგად გამოვიდა 56 ცალი მცირე ზომის მართკუთხედი, რომლებიც გამუქებულია. თითოეული მათგანი წარმოადგენს ერთეულოვანი კვადრატის 1/6 ნაწილს. ამიტომ ნამრავლი ტოლია 56/6-ის. გარდა ამისა, ეს მოდელი იმდენად ეფექტურია, რომ მისი  საშუალებით შესაძლებელია ამ არაწესიერი წილადის დაყვანა. კერძოდ, თუ გამუქებულ მართკუთხედებს გადავალაგებთ, მოსწავლე ადვილად შეამჩნევს, რომ მიიღება 9 ერთეულოვანი კვადრატი და კიდევ დარჩება 1/6-ის შესაბამისი მცირე მართკუთხედი.

  

წილადების ნამრავლი, როგორც ნაწილის ნაწილი

არსებობს კიდევ  ერთი მიდგომა წილადების  ნამრავლის მიმართ. ესაა წილადების ნამრავლი, როგორც ნაწილის ნაწილი. მაგალითად, ნამრავლი 1/2  ხ 4/5 შეიძლება განვიხილოთ, როგორც 4/5-ის ნახევარი, რაც ბუნებრივად არის 2/5. მართკუთხოვანი მოდელის გამოყენება ასევე სასარგებლოა ამ მიდგომის სადემონსტრაციოდ. მაგალითად, თუ გვაქვს მართკუთხედი, რომელიც დაყოფილია 5 ნაწილად და მათგან გამუქებულია 4 ნაწილი, გამუქებული არის ნახევარი მოგვცემს თავდაპირველი მართკუთხედის 2/5-ს.

 

  გაფერადებული მართკუთხედები

 

 

გაყოფა, როგორც თანაბრად განაწილება

როდესაც მოსწავლეს ევალება აღწეროს ვითარება, რომელიც შეესაბამება გაყოფას, მაგალითად 12:3, როგორც წესი, იგი აღწერს ამის მსგავს ვითარებას: “სამ ბავშვს სურს თანაბრად გაინაწილოს 12 ნამცხვარი. რამდენი ნამცხვარი შეხვდება თითოეულ ბავშვს?”. ეს თავისთავად სწორი წარმოდგენა შესაძლოა დამაბნეველი აღმოჩნდეს წილადების გაყოფის შემთხვევაში. მაგალითად, როდესაც გვაქვს ასეთი გამოსახულება 3/4  : 1/4 , არ შეიძლება იმის  თქმა, რომ “1/4 ბავშვს  სურს თანაბრად გაინაწილოს  “. ამ გაუგებრობისაგან თავის დაღწევა შესაძლებელია, თუ ჩვენ თავდაპირველ ნიმუშს  (12:3) ცოტა განსხვავებული ფორმით ჩამოვაყალიბებთ. კერძოდ: “თუ 12 ნამცხვარი შეადგენს 3 ულუფას. რამდენი ნამცხვარი იქნება 1 ულუფა?”. ამ შემთხვევაში, სიტყვა “ულუფა” საქმეს ამარტივებს, რადგან შესაძლებლობას იძლევა ვისაუბროთ მის ნაწილებზე (“ნახევარი ულუფა, 1/3 ულუფა, და ა.შ.”). ამის შემდეგ, 3/4 : 1/4 გამოსახულების შესაბამისი სიტუაციური ამოცანა შეიძლება ასე  ჩამოყალიბდეს: “გვაქვს ნამცხვრის 3/4 ნაწილი. ეს შეადგენს მთლიანი ულუფის 1/4  ნაწილს. რამდენი ნამცხვარია 1 ულუფა?”. ამოცანის ამგვარ დასმას  მოყვება მარტივი მსჯელობა: რადგან 3/4 არის ულუფის 1/4, ამიტომ 1 მთლიანი ულუფა იქნება 3/4+3/4+3/4+3/4 = 12/4 = 3 ნამცხვარი.

 

გაყოფა, როგორც ზომების შედარება

12:3 განაყოფის განხილვა შესაძლებელია კიდევ ერთი ხერხით: “რამდენი ცალი 3 უნდა ავიღოთ რომ მივიღოთ 12?”. ამ მიდგომის ნიმუშები შეიძლება იყოს სხვადასხვა სიტუაციური ამოცანები. მაგალითად: “თუ მაქვს 12 ლარი და ერთი ნამცხვარი ღირს 3 ლარი, რამდენი ნამცხვარი შემიძლია ვიყიდო?” ან “თუ ხის ნაჭრის სიგრძეა 12 სანტიმეტრი და მსურს მისი  დაჭრა 3 სანტიმეტრის სიგრძის ნაჭრებად, რამდენი ნაჭერი გამომივა?”.

ეს  მოდელი ლოგიკურად შეიძლება გავრცელდეს წილადების შემთხვევაზე. მაგალითად განაყოფი 3/4:1/4 შეიძლება  მოსწავლეს  აღვუწეროთ ასე:  “თუ მაქვს 3/4 ლარი ხოლო ნამცხვარი ღირს 1/4 ლარი, რამდენი ნამცხვრის შეძენა შემიძლია?”. ეს შემთხვევა შესაძლოა გავრცელდეს ისეთ წილადებზე, რომელთა განაყოფი მთელი არ არის. მხოლოდ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ საყიდელი ნივთი უნდა ექვემდებარებოდეს დანაწილებას. მაგალითად, თუ ჩვენ ვისაუბრებთ ფანქრების შეძენაზე, მაშინ ფანქრის ნაწილებად დაჭრა მოსწავლეს უაზრობად მოეჩვენება.

შედარების მოდელის გამოიყენება ოდნავ სირთულეებს აწყდება შერეული წილადების შემთხვევაში. მაგალითად: 1 2/3 :2/3. ამ შემთხვევებში ეფექტურია ვიზუალური მოდელის გამოყენება

 შედარების მოდელი

  

ნახაზზე, ზედა მართკუთხედი შეესაბამება 1 ერთეულს, რომელიც დაყოფილია 3 ტოლ ნაწილად. შუა მართკუთხედი შეესაბამება შერეულ წილადს 1 2/3-ს. ქვედა მართკუთხედი კი წარმოჩენს შუა მართკუთხედის “გაზომვას” 2/3-ს ტოლი ნაწილების საშუალებით. როგორც ილუსტრაციიდან ჩანს, 1 2/3-ის მისაღებად საჭირო აღმოჩნდა 2 ცალი 2/3 სიგრძის ნაჭერი და კიდევ ამ ნაჭრის ნახევარი. ე.ი.  1 2/3 : 2/3 = 2 1/2.

შევნიშნავთ, რომ გაყოფის, როგორც ზომების შედარების მოდელი, გაყოფას განიხილავს როგორც გამრავლების მოქმედების შექცეულ მოქმედებას: როდესაც შეკითხვას ვსვამთ ასე: “რამდენი 2/3 შეადგენს 1 2/3-ს?”, ეს ფაქტიურად იგივეა, რაც: “რაზე უნდა გავამრავლოთ 2/3, რომ მივიღოთ 1 2/3?”